«Δημοκρατία, Επιχείρημα, Απόδειξη στα Μαθηματικά: Κοινή Καταγωγή» του Παναγιώτη Σπύρου

0

ΑΡΘΡΟ ΜΕ ΤΙΤΛΟ «ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ, ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑ, ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΚΟΙΝΗ ΚΑΤΑΓΩΓΗ» ΠΟΥ ΔΗΜΟΣΙΕΥΤΗΚΕ ΣΤΟ ΑΙΤΙΟΝ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ (Τεύχος Νο 2)

του Παναγιώτη Σπύρου 

(Αναπληρωτής καθηγητής στο Τμήμα Μαθηματικών στο Ε.Κ.Π.Α.)

Ο πολιτισμός της αρχαίας Ελλάδας αποτελεί για τους μαθηματικούς -και όχι μόνο- ένα προνομιακό πεδίο έρευνας[1]. Στην ιστορική επιστημολογία μέθοδοι της γενετικής αναζήτησης έχουν προταθεί από πολλούς, που επηρεάστηκαν από τη φαινομενολογία ή τον μαρξισμό. Η πρωτοτυπία της εποχής, που αναφερόμαστε, δεν περιορίζεται στα μαθηματικά και την επιστήμη, αλλά αφορά πλήθος άλλες παραμέτρους που συγκροτούν τον δυτικό κόσμο. Γνωρίζουμε ότι οι μεγάλοι πολιτισμοί, που προηγήθηκαν του ελληνικού[2], έκαναν μαθηματικά αλλά πουθενά δεν φαίνεται να έφτασαν σε μια ιδέα παραγωγικής απόδειξης -Szabó[3] (1974), Katz (2009)[4]– και τίθεται το ανάλογο ερώτημα. Έχει λοιπόν ενδιαφέρον να δούμε μια εκδοχή για τα αίτια και το πλαίσιο όπου διαμορφώθηκε αυτός ο πολιτισμός και έφτασε στην ιδέα της μαθηματικής απόδειξης, όπως την ξέρουμε στην επιστήμη των μαθηματικών σήμερα. Μία από τις αιτίες του φαινομένου θα πρέπει να αναζητηθεί στην οικονομική δομή και τις ιδιαιτερότητες των κοινωνιών που οδήγησαν σε αυτό που λέμε κλασική αρχαιότητα.

Μελέτες που έγιναν το δεύτερο μισό του 20ού αιώνα πάνω στον ασιατικό τρόπο παραγωγής[5] διαφωτίζουν, ως έναν βαθμό, το τοπίο. Ως ασιατικό τρόπο παραγωγής εμφανίζουν μια συγκέντρωση ομογενών κοινοτήτων μιας ομογενούς παραγωγής, όπως η απέραντη παραγωγική δομή του σιτοβολώνα του Νείλου. Ελεύθεροι αγρότες προσφέρουν μέρος της σοδειάς σε μια κεντρική συντονιστική των δραστηριοτήτων εξουσία. Η κοινότητα των ανθρώπων, που ενδεχομένως προέκυψε από τη συγκρότηση ενός αντιπλημμυρικού προγράμματος τιθάσευσης του ποταμού, στη συνέχεια συγκροτήθηκε ως αυτόνομη τάξη. Η τάξη αυτή οργανώνει έναν πολιτισμό συναθροιστικό με στόχο την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων, δηλαδή του αντιπλημμυρικού έργου, της κατασκευής πυραμίδων και ναών, όπως και τη διαφύλαξη και διανομή ενός τεράστιου πλούτου.

Εξελίξεις παρόμοιες συναντούμε και στη Βαβυλώνα με αποτέλεσμα σε αυτές τις περιοχές να μην έχει προκύψει ακόμη η αυθύπαρκτη προσωπικότητα του ιδιαίτερου πολίτη, καθόσον οι άνθρωποι των κοινωνιών που αναφέρουμε νιώθουν ότι υπάρχουν και εκφράζουν τις τάξεις στις οποίες ανήκουν. Αντίθετα, στον γεωγραφικό χώρο του Αιγαίου από τις αρχές της δεύτερης χιλιετηρίδας[6] αναδύεται μια άλλη κοινωνία με τα εξής χαρακτηριστικά:

1) Συνύπαρξη πολλών μικρών διαφορετικών οικονομιών, του βουνού, της πεδιάδας, της θάλασσας[7].

2) Οι οικονομίες αυτές δύσκολα συγκροτούνται υπό την επιρροή μιας και μόνης εξουσίας.

3) Στα παράλια προσέρχονται κυνηγημένοι από τις αντιθέσεις των κοινωνιών της Ανατολής τεχνίτες των μετάλλων και της κεραμικής οι οποίοι μεταφέρουν τις γνώσεις τους και δρουν πλέον ελεύθεροι.

4) Η αλυσίδα των νησιών του Αιγαίου διευκολύνει την επικοινωνία και τα θαλάσσια ταξίδια, που ενθαρρύνουν το εμπόριο και τις ανταλλαγές αλλά και τον πόρο αναζήτησης νέων πληροφοριών.

5) Οι παραπάνω συνθήκες ευνοούν την ανάπτυξη μιας πλούσιας σε αφαιρέσεις γλώσσας[8].

6) Ανάπτυξη της μεγάλης διευρυμένης αγοράς και βιοτεχνικής παραγωγής που δημιουργεί έναν νέο πληθυσμό, ο οποίος δεν ανήκει απαραίτητα στις αριστοκρατικές οικογένειες που κατέχουν τη γη[9].

7) Ύπαρξη ατομικής ιδιοκτησίας ως αποτέλεσμα της κινητικότητας και της διάρρηξης των ομαδικών σχέσεων.

8) Συγκρότηση ενός αστικού πλέγματος ελεύθερων πολιτών για τους οποίους προκύπτει η ανάγκη ενός δημόσιου θεσμού διακανονισμού διαφορών, δηλαδή του δικαστηρίου[10].

9) Ανάπτυξη της επιχειρηματολογίας των σοφιστών[11]. Το επιχείρημα γίνεται βασικό εργαλείο της κοινωνικής συναλλαγής και η πειθώ αναγορεύεται σε θεά[12]. Οι συζητήσεις αυτές ήταν αναπτυγμένες μέσα στο προσωκρατικό περιβάλλον αλλά οργανώνονται με τον Σωκράτη και τον Πλάτωνα[13].

10) Ο ελεύθερος άνθρωπος έχει ιδιοκτησία η οποία μπορεί να αμφισβητηθεί (Χαρακτηριστικό είναι το παράδειγμα των όρων των κτημάτων. Οι γείτονες ενδεχομένως τα μετακινούσαν και ο δικαστής ζητούσε τον ορισμό του κτήματος, δηλαδή να τοποθετηθούν πάλι τα παλούκια που ονομάζονταν όροι. Η μεταφορά έφτασε μέχρι τα μαθηματικά, όπως ισχυρίζεται ο Szabo). Ακόμη, η αμφισβήτηση μπορεί να είναι ηθική, πολιτική, στρατιωτική. Το τι είναι έγκλημα, απ’ την άλλη, και το πώς τεκμηριώνεται η ενοχή είναι βασικό στοιχείο της κοινωνίας. Τα πάντα κρίνονται σε έναν δημόσιο λόγο, τον λόγο στον οποίο οι πολίτες συνομολογούν και είναι υπόλογοι. Η ιδιωτική ζωή αφορά μόνο τα οικογενειακά ζητήματα. Η μη συμμετοχή στον δημόσιο λόγο επικρίνεται, ώστε η ιδιώτευση να καταστεί επίκριση και να περάσει στις άλλες γλώσσες ως ο χαρακτηρισμός του ηλίθιου[14].

11) Επίσης, η υποκίνηση ελεύθερων πολιτών σε μάχη απαιτεί την ανάπτυξη επιχειρημάτων που να παραπέμπουν σε αρχές τις οποίες να σέβονται όλοι, τις αρχές της πόλεως[15].

12) Όλες οι παραπάνω προϋποθέσεις πυροδοτούν μια διαφορετική κοινωνική ψυχολογία με τελείως διαφορετικές ψυχικές λειτουργίες, διαδικασίες που θα δρομολογήσουν τη συγκρότηση του ανθρώπου που σκέφτεται απομονωμένα και ανεξάρτητα ενώ την ίδια στιγμή συνδέεται με την πόλη μέσω του λόγου που συνέχει τα άτομα. Έχουμε, δηλαδή, την πρώτη ανάδειξη του εγώ ως κοινωνικής-ψυχολογικής κατηγορίας[16].

Οι πρώτες αποδείξεις φαίνεται ότι έχουν εντελώς οπτική λειτουργία, όπως εκείνες του Θαλή, που έδειξε ότι οι παρά τη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες ή ότι η διάμετρος κύκλου τον χωρίζει σε δυο ίσα μέρη. Οι αποδείξεις αυτές γίνονται με απλή επίθεση και αντιστοιχούν κυριολεκτικά στο δείξε. Ωστόσο, με τα χρόνια και μετά την επίδραση των φιλοσοφικών σχολών των πυθαγορείων και των ελεατών, το σκεπτικό αλλάζει. Οι αποδείξεις μετατοπίζονται σε αυτό που δεν είναι ορατό αλλά αποτελεί αφηρημένη σκέψη, στηρίζεται σε ήδη αποδεδειγμένες προτάσεις και τεχνικές λογικού συμπερασμού και ακόμη, το σημαντικότερο, τη χρήση της εις άτοπον απαγωγής, επινοημένης εν πρώτοις από τον Ζήνωνα.

Στον Παρμενίδη εμφανίζεται το επίθετο νοητόν αν και όχι σε αντιδιαστολή προς το αισθητόν. Είναι σημαντική η επισήμανση που κάνει ο Παρμενίδης, αναζητώντας έναν θεωρητικό κόσμο μιας πραγματικότητας που βρίσκεται πίσω από το φαινομενικό των εμφανίσεων. Η πραγματικότητα δημιουργείται από επιχειρήματα και εντελώς διαφορετικά από τον φαινομενικό κόσμο. Η ιδέα ότι η αλήθεια διαφεύγει των αισθήσεων, δηλαδή το εμπειρικό δόγμα των Ιώνων φιλοσόφων που κήρυσσε ότι τα πάντα ρει και ότι δεν υπάρχει τίποτα στον νου αν δεν περάσει από τις αισθήσεις[17]. Ο Παρμενίδης[18] υποστηρίζει: Το γαρ αυτό νοείν εστίν τε και είναι (διότι το είναι των πραγμάτων είναι εκείνο που νοώ). Το δόγμα του Παρμενίδη οδηγεί σε έναν νοητικό κόσμο αόρατο και αντιεμπειρικό. Ο μαθητής του, ο Ζήνωνας, θα προχωρήσει παραπέρα με τα γνωστά παράδοξά του, όπου εισάγει για πρώτη φορά την εις άτοπον απαγωγή και προσπαθεί να δείξει ότι η φαινομενικότητα δεν υπάρχει[19]. Ωστόσο, και στον Ηράκλειτο[20] συναντούμε αυτή την αναγωγή που υπερβαίνει την ατομική αίσθηση και εμπειρία καθώς λέει: «Όχι εμένα μα τον λόγο ν’ ακούστε και να ομολογήσετε, σοφή είναι η ρήση πως όλα είναι ένα». Ή: «ενώ ο λόγος είναι κοινός, οι πολλοί ζουν σαν να είχαν λογική ξεχωριστή».

Έτσι, ένα είδος υπερβατολογικής διυποκειμενικότητας, που θα ήθελε ο Husserl, διαφαίνεται να κυριαρχεί στη συλλογική αφήγηση και τον κοινό νου του προσωκρατικού κόσμου[21]. Ο άνθρωπος νιώθει ότι η αλήθεια του δεν αποτελεί ζήτημα ατομικής εμπειρίας, αλλά προϋποθέτει μιαν αναγωγή σε ένα πεδίο κοινό και με τους άλλους. Το πεδίο αυτό της λογικής, θα λέγαμε, θα περάσει πολλές ερμηνείες και επεξεργασίες, των πυθαγορείων, του Πλάτωνα, του Αριστοτέλη. Ένας μεγάλος αριθμός μαθηματικών αποτελεσμάτων θα προκύψει και θα διαπλεχθεί με την ίδια την πλατωνική φιλοσοφία. Το πεδίο αυτό της ορθολογικότητας έχει τέτοια ισχύ που θα αποτελεί μιαν αλήθεια αναγκαία και καθολική που θα ισχύει έκτοτε στο διηνεκές[22]. Ο μαθητής του Πλάτωνα, ο Αριστοτέλης θα θέσει τις βάσεις για την οργάνωση της λογικής και μισόν αιώνα αργότερα θα προκύψει το αριστούργημα των αρχαίων ελληνικών μαθηματικών, τα Στοιχεία του Ευκλείδη. Τα Στοιχεία αποτελούνται από δεκατρία βιβλία όπου θεμελιώνεται για πρώτη φορά η επιστήμη των μαθηματικών με αξιώματα και τις κοινές έννοιες. Το αυστηρό κείμενο θεμελίωσης της αριθμητικής και της γεωμετρίας θα αποτελέσει υπόδειγμα, που θα ακολουθήσουν και οι άλλες επιστήμες, ιδιαίτερα κατά την Αναγέννηση και τους νεώτερους χρόνους. Εκείνο που πρέπει να σημειωθεί είναι ότι δεν γράφτηκε μόνο για να θέσει τα προβλήματα θεμελίωσης της αριθμητικής και της γεωμετρίας μέχρι τα κανονικά πολύεδρα, αλλά γράφτηκε επίσης για να διδαχθεί! Η επινόηση συνδέθηκε έντεχνα και με λιτότητα με την κατανόηση, ώστε να ανταποκρίνεται στο απαύγασμα της ελληνικής αρχαιότητας το φιλοκαλούμεν μετ’ ευτελείας[23] καθώς τα μαθηματικά για τον Αριστοτέλη είναι «μια συλλογή αναγκαίων και ικανών συνθηκών που συγκροτούν μιαν οντότητα κάποιου είδους πραγμάτων τέτοια ώστε να απορρέουν κατά φυσικό τρόπο όλες οι ιδιότητές της»[24]. Το πρέπει και το αρκεί, τίποτα λιγότερο τίποτα περισσότερο, όπως στην ποίηση!

 

ΥΠΟΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

[1] A. Moutsios-Rentzos & P. Spyrou (2013) The need for proof in geometry: A theoretical investigation through Husserl’s phenomenology, Proceedings of 37th Conference of International Group of Psychology of Mathematics Education, Vol. 3, p. 329-336. Kiel, Germany.

[2] L. H. Bunt, P. S. Jones, J. D. Bedient: Οι Ιστορικές Ρίζες των Στοιχειωδών Μαθηματικών, Μετ. Α. Φερεντίνου – Νικολακοπούλου, Εκδ. Πνευματικός Αθήνα 1981.

[3] Árpad Szabó, Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών, Εκδόσεις ΤΕΕ, Αθήνα 1973.

[4] Katz, V. J. (2009). A history of mathematics: An introduction. Boston: Addison-Wesley.

[5] Centre d’ Etudes et de Recherchers Marxistes, Sur le ‘mode de production asiatique’ Editions Sociales, Paris 1974. & Ferenc Tokei, Για τον Ασιατικό τρόπο παραγωγής, Εκδόσεις Αναγνωστίδη.

[6] G. Thomson, (1954) Η Αρχαία Ελληνική Κοινωνία, το πρωιστορικό Αιγαίο, Εκδοτικό Ινστιτούτο Αθηνών.

[7] Στο ίδιο.

[8] J. Sarcady, The development of Greek society 12-8th centuries B.C, Acta Antica Acadedemia, 1975.

[9] Maurice Godelier, La notion de <Mode de production asiatique> et les schémas marxistes d’évolution des sociétées, σελ. 47-100 στο Centre d’ Etudes et de Recherchers Marxistes, Sur le ‘mode de production asiatique’ Editions Sociales, Paris 1974.

[10] Βασίλη Μπρακατσούλα, Ο διαφωτισμός στην Αρχαία Ελλάδα, Αθήνα 1976

[11] W. K. C. Cuthrie 1983, The Sophists, Cambridge University Press. & G. S. Kirk, J. E. Raven and M. Schofield 1979, The presocratics Philosophers, CUP. G. Thomson 1972, les premiers philosophes, es/ouvertures.

[12] J. P. Vernant, Μύθος και σκέψη στην αρχαία Ελλάδα. Εκδόσεις Ολκός, 1975, & J. P. Vernant “Η καταγωγή της ελληνικής σκέψης”, Δίπτυχο, 1966.

[13] A. E. Taylor, Πλάτων, Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, 1992.

[14] J.- P. Vernant, Μύθος και σκέψη στην αρχαία Ελλάδα. Εκδόσεις Ολκός, 1975, Σπύρου Μακρή, Hannah Arendt, Ολοκληρωτισμός, ανθρώπινη κατάσταση και παράδοση. Εκδόσεις Σιδέρης, 2014.

[15] Το ίδιο.

[16] J. P. Vernant, Μύθος και σκέψη στην αρχαία Ελλάδα.

[17] Δραγώνα Μοναχού, Η Θεωρία Γνώσης των Προσωκρατικών, Δευκαλίων 1974. Árpad Szabó, Απαρχαί των Ελληνικών Μαθηματικών.

[18] Ελεάτες, Τα κείμενα, Ε. Pούσσου, Δευκαλίων 33/34, 1982.

[19] Στο ίδιο.

[20] Ε. Pούσσου, Ηράκλειτος, Εκδ. Καραβία, 1971.

[21] E. Husserl, Η Προέλευση της Γεωμετρίας, μετάφραση Π. Κόντος, εκδόσεις Εκκρεμές 2003 & E. Husserl Η Κρίση των Ευρωπαϊκών Επιστημών και η υπερβατολογική φαινομενολογία. Μετ. Π. Θεοδώρου. Εκδόσεις, νήσος, 2012.

[22] E. Husserl, Η καταγωγή της Γεωμετρίας, μετ. Κόντος, & M. Foucault Αρχαιολογία της Γνώσης, μετ. Κ. Παπαγιώργης, Εκ. Εξάντας,

[23] Επιτάφιος, Περικλή.

[24] Σελ. 110 στο G. Lakoff & R. E. Nunez, Where Mathematics Comes From, Basic Books, 2000.

Share.

Comments are closed.